৯ম শ্রেণি | গনিত | অধ্যায় ৬ | পরিমাপে ত্রিকোণমিতি | PDF

৯ম শ্রেণি | গনিত | অধ্যায় ৬ | পরিমাপে ত্রিকোণমিতি | PDF: নবম ও দশম শ্রেণির প্রাথমিক গনিত বিষয়টির ৬ষ্ট অধ্যায়টি হতে বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপে ত্রিকোণমিতি সম্পর্কিত সকল সমাধান গুলো আমাদের এই পোস্টে আলোচনা করা হয়েছে। অতএব সম্পূর্ণ পোস্টটি মনযোগ সহকারে পড়ুন।

পরিমাপে ত্রিকোণমিতি

১. cosθ = ³/₄ হলে, θ কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

আমরা জানি, sin²θ + cos²θ = 1

বা, sin²θ = 1 – cos²θ

বা, sin²θ =  [; দেওয়া আছে]

বা, sin²θ =

বা, sin²θ =

sinθ =

 

২. 12cotθ = 7 হলে cosθ ও cscθ এর মান বের করো।

সমাধানঃ 12cotθ = 7

বা, cotθ = ⁷/₁₂

বা, tanθ = ¹²/₇

বা, ^sinθ/_cosθ = ¹²/₇

বা, 12cosθ = 7sinθ

বা, 144cos²θ = 49sin²θ [বর্গ করে] …… (i)

বা, 144cos²θ = 49(1-cos²θ) [∵sin²θ+cos²θ =1]

বা, 144cos²θ = 49 – 49cos²θ

বা, 144cos²θ + 49cos²θ = 49

বা, 193cos²θ = 49

বা, cos²θ = ⁴⁹/₁₉₃

cosθ = ⁷/_√193

আবার, (i) নং থেকে পাই,

144(1-sin²θ) = 49sin²θ

বা, 144 – 144sin²θ = 49sin²θ

বা, 144 = 49sin²θ + 144sin²θ

বা, 144 = 193sin²θ

বা, sin²θ = ¹⁴⁴/₁₉₃

বা, csc²θ = ¹⁹³/₁₄₄

cscθ = ^√193/₁₂

৩. ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°, AC = 12 সেমি, BC = 13 সেমি এবং ∠BAC = θ হলে, sinθ, secθ ও tanθ এর মান বের করো।

দেওয়া আছে,

∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°, AC = 12 সেমি, BC = 13 সেমি এবং ∠BAC = θ। sinθ, secθ ও tanθ এর মান বের করতে হবে।

পিথাগোরাসের সূত্র মতে,

AC² = BC² + AB²

বা, AB² = AC² – BC²

বা, AB² = 12²-13²

বা, AB² = 144 – 169

বা, AB² = -25

বিদ্রঃ AB² এর মান -25 হতে পারে না, উল্লেক্ষ্য প্রশ্নে অতিভুজ AC < CB যা গ্রহনযোগ্য নয়। সেক্ষেত্রে আমরা এখানে AC = 13 সেমি ও BC = 12 সেমি ধরে হিসাব করে পাই (তোমাদের মতামত আমাদের জানিও):-

AB² = 25

বা, AB = 5

∵ sinθ = ^{বিপরীত বাহু}/_{অতিভুজ}

বা, sinθ = ^BC/_AC

বা, sinθ = ¹²/₁₃

আবার,

secθ =  ^{অতিভুজ}/_{সন্নিহিত বাহু}

বা, secθ = ^AC/_AB

বা, secθ = ¹³/₅

ও

tanθ =  ^{বিপরীত বাহু}/_{সন্নিহিত বাহু}

বা, tanθ = ^BC/_AB

বা, secθ = ¹²/₅

৪. θ = 30° হলে, দেখাও যে,

সমাধানঃ  θ = 30° হলে, tanθ = tan30° = ¹/_√3

এখন, ডানপক্ষ

আবার, বামপক্ষ

= cos2θ

= cos2×30°

= cos60°

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

সমাধানঃ

θ = 30° হলে, tanθ = tan30° = ¹/_√3

এখন, ডানপক্ষ

= √3

আবার,

বামপক্ষ

= tan2θ

= tan 2 × 30°

= tan60°

= √3

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

৫. একটি গাছের পাদদেশ হতে 15 মিটার দূরে ভূ–তলের কোনো বিন্দুতে গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

চিত্র অনুসারে,

A হলো গাছের পাদদেশ এবং A হতে B এর দূরত্ব = AB = 15 মিটার এবং B বিন্দুতে উন্নতি কোণ ∠ABC = 60°.

তাহলে,

tan60° = ^AC/_AB

বা, √3 = ^AC/₁₅

বা, AC = 15×√3 = 25.981 (প্রায়)

অর্থাৎ, গাছটির উচ্চতা 25.981 মিটার (প্রায়)।

৬. 6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি মই ভূমির সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে ছাদ স্পর্শ করে আছে। ছাদের উচ্চতা নির্ণয় করো।

আমাদের অঙ্কিত মডেল চিত্র অনুসারে,

AB = মই যার দৈর্ঘ্য 6 মিটার

AC = ভূমি

CB = ভূমি হতে ছাদের দূরত্ব

∠ABC = 60°

এখন, আমরা জানি,

cosθ = ^{অতিভূজ}/_{বিপরীত বাহু}

অর্থাৎ, ΔABC-এ

cos60° = ^AB/_CB

বা, ½ = ⁶/_CB [∵cos60°=½ ]

বা, 2×6 = CB

বা, CB = 12

∵ ছাদের উচ্চতা = 12 মিটার।

৭. ভূতলের কোনো একটি স্থান থেকে একটি মিনারের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ওই স্থান থেকে 20 মিটার পিছিয়ে গেলে মিনারের উন্নতি কোণ হয় 45°। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

প্রদত্ত গাণিতিক প্রশ্ন হতে আমরা নিন্মোক্ত মডেল চিত্রটি অঙ্কন করি।

যেখানে,

CD = y = মিনারের উচ্চতা

∠CAD = 60° = ভূতলের A বিন্দুতে উন্নতি কোণ

∠CBD = 45° = ভূতলের B বিন্দুতে উন্নতি কোণ

AB = 20 মিটার

CA = x মিটার (ধরে)

তাহলে,

tan60° = ^CD/_CA

বা, √3 = ^y/_x  [∵tan60°=√3]

বা, y = √3x …… (i)

আবার,

tan45° = ^CD/_CB

বা, 1 = ^y/_(x+20)  [∵tan45°=1]

বা, y = x+20……(ii)

এখন, (i) ও (ii) হতে পাই,

√3x = x+20

বা, √3x – x = 20

বা, x(√3-1) = 20

বা, x = ²⁰/_(√3-1)

বা, x = 27.3205 (প্রায়)

এখন, x = 27.3205, (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = √3×27.3205

∵ y = 47.3205 (প্রায়)

∵ মিনারটির উচ্চতা 47.3205 মিটার (প্রায়)।

৮. একটি নদীর তীরে দাড়িয়ে একজন লোক দেখলো যে, ঠিক সোজাসুজি নদীর অপর তীরে 100 মিটার ঊঁচু একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। লোকটি টাওয়ার বরাবর নৌকা পথে যাত্রা শুরু করল। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে নৌকাটি টাওয়ার থেকে 10 মিটার দূরে তীরে পৌঁছাল। লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

প্রদত্ত গাণিতিক প্রশ্ন হতে আমরা নিন্মোক্ত মডেল চিত্রটি অঙ্কন করি।

যেখানে,

A ও B হলো প্রদত্ত নদীর দুই তীরের দুইটি বিন্দু এবং A বিন্দুতে লোকটি দাঁড়িয়ে আছে।

∵ AB = নদীর প্রস্থ

BC = 100 মিটার = প্রদত্ত টাওয়ারের উচ্চতা

∠BAC = 45° = তীরের A বিন্দুতে উন্নতি কোণ

D হলো B থেকে 10 মিটার দূরের তীরের একটি বিন্দু যেখানে লোকটি নৌকা নিয়ে পৌছায়।

∵ BD = 10 মিটার

AD = ?

তাহলে,   tan45° = ^BC/_BA      [∵tan45°=1]

বা, 1 = ^BC/_BA

বা, BC = BA

বা, BA = 100          [মান বসিয়ে]

এখন,

AD² = AB²+BD²

বা, AD² = 100²+10²

বা, AD² = 10100

∵ AD = 100.4987 (প্রায়)      [বর্গমূল করে]

লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব100.4987 মিটার (প্রায়)।

৯. সাগরের তীরে একটি টাওয়ারের উপর থেকে একজন লোক সাগর পর্যবেক্ষণের সময় দেখলো যে একটি জাহাজ বন্দরের দিকে আসছে। তখন জাহাজটির অবনতি কোণ ছিল 30°. কিছুক্ষণ পরে লোকটি দেখলো জাহাজটির অবনতি কোণ 45°. যদি টাওয়ারের উচ্চতা 50 মিটার হয়, তবে এই সময়ে জাহাজটি কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে?

সমাধানঃ

প্রদত্ত গাণিতিক প্রশ্ন হতে আমরা নিন্মোক্ত মডেল চিত্রটি অঙ্কন করি।

যেখানে,

BC = 50 মিটার = প্রদত্ত টাওয়ারের উচ্চতা

∠ACD = 30° = A বিন্দুতে জাহাজের অবস্থানের অবনতি কোণ

∠BEC = 45° = E বিন্দুতে জাহাজের অবস্থানের অবনতি কোণ

AE = ?

এখন, মডেল চিত্র অনুসারে,

CD||AB ও AC সাধারন বাহু

∵ ∠ACD = ∠CAB [একান্তর কোন]

বা, ∠CAB = 30° [মান বসিয়ে]

তাহলে,

tan30° = ^BC/_AB

বা, ¹/_√3 = ⁵⁰/_AB  [∵tan30°=¹/_√3]

বা, AB =50.√3

বা, BE + AE = 50.√3……(i)

আবার,

CD||BE ও EC সাধারন বাহু

∵ ∠DCE = ∠BEC [একান্তর কোন]

বা, ∠BEC = 45° [মান বসিয়ে]

তাহলে, Tan45° = ^BC/_BE

বা, 1 = ⁵⁰/_BE  [∵tan45°= 1]

বা, BE =50……(ii)

এখন, BE =50; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

50 + AE = 50.√3

বা, AE = 50.√3 – 50

∵ AE = 36.6025 (প্রায়)

∵ জাহাজটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = 36.6025 মিটার (প্রায়)

পড়ুনঃ

• আম আঁটির ভেঁপু গল্পের জ্ঞান ও অনুধাবনমূলক প্রশ্ন ও উত্তর (PDF)
• বাংলা ১ম: বই পড়া গল্পের জ্ঞান ও অনুধাবনমূলক প্রশ্ন ও উত্তর (PDF)
• (PDF) পল্লিসাহিত্য কবিতার জ্ঞান ও অনুধাবনমূলক প্রশ্ন ও উত্তর
• SSC-জ্ঞানমূলক ও অনুধাবনমূলক সব প্রশ্নের উত্তর | কপোতাক্ষ নদ

১০. তোমার প্রতিষ্ঠানের অফিস ভবন থেকে 10 মিটার দূরে ওই ভবনের উন্নতি কোণ 45° এবং 20 মিটার দূর থেকে ওই ভবনের উন্নতি কোণ θ° হলে, sinθ ও cosθ-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

প্রদত্ত গাণিতিক প্রশ্ন হতে আমরা নিন্মোক্ত মডেল চিত্রটি অঙ্কন করি।

যেখানে,

A বিন্দুতে অফিস ভবন অবস্থিত

AB = 10 মিটার

AC = 20 মিটার

∠ABD = 45° = A বিন্দুতে উন্নতি কোণ

∠ACD = θ° = C বিন্দুতে উন্নতি কোণ

Sinθ = ? ও cosθ = ?

এখন, মডেল চিত্র অনুসারে,

tan45° = ^AD/_AB

বা, 1 = ^AD/_AB        [∵tan45°= 1]

বা, AD = AB

বা, AD = 10 …..(i) [মান বসিয়ে]

আবার,

tanθ° = ^AD/_AC

বা, tanθ° = ¹⁰/₂₀  [মান বসিয়ে]

বা, tanθ° = ½

বা, ^sinθ°/_cosθ° = ½  [∵tanθ°= ^sinθ°/_cosθ°]

বা, cosθ° = 2sinθ°

বা, cos²θ° = 4sin²θ° [বর্গ করে]

বা, cos²θ° = 4(1-cos²θ°) [∵sin²θ°+cos²θ°=1]

বা, cos²θ° = 4 – 4cos²θ°

বা, cos²θ°+4cos²θ° = 4

বা, 5cos²θ° = 4

বা, cos²θ° = ⁴/₅ …..(ii)

বা, cosθ° = ⁴/_√5                     [বর্গমূল করে]

আবার, (ii) নং হতে পাই,

1-sin²θ° = ⁴/₅                           [∵sin²θ°+cos²θ°=1]

বা, -sin²θ° = ⁴/₅-1

বা, -sin²θ° = ^-1/₅

বা, sin²θ° = ¹/₅

বা, sinθ° = ¹/_√5                      [বর্গমূল করে]

∵ sinθ = ¹/_√5 ও cosθ = ⁴/_√5

 

PDF Download

 

উক্ত বিষয় সম্পর্কে কিছু জানার থাকলে কমেন্ট করতে পারেন।
আমাদের সাথে ইউটিউব চ্যানেলে যুক্ত হতে এখানে ক্লিক করুন এবং আমাদের সাথে ফেইজবুক পেইজে যুক্ত হতে এখানে ক্লিক করুন। গুরুত্বপূর্ণ আপডেট ও তথ্য পেতে আমাদের ওয়েবসাইটে ভিজিট করুন।