৮ম শ্রেণি | গনিত | ঘনবস্তুতে দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশি খুঁজি | PDF: অষ্টম শ্রেণির প্রাথমিক গনিত বিষয়টির ৩য় অধ্যায়টি হতে বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ ঘনবস্তুতে দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশি খুঁজি সম্পর্কিত সকল প্রশ্ন উত্তর গুলো আমাদের এই পোস্টে আলোচনা করা হয়েছে। অতএব সম্পূর্ণ পোস্টটি মনযোগ সহকারে পড়ুন।
ঘনবস্তুতে দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশি খুঁজি
১. নিচের কোনটি দ্বিপদী রাশি নয়? তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
ক) xy+3x খ) xy গ) x+y-1 ঘ) x2-2x+1 ঙ) y2
সমাধানঃ
ক) xy+3x একটি দ্বিপদী রাশি কারণ এই রাশিটিতে দুইটি পদ xy ও 3x আছে।
খ) xy একটি দ্বিপদী রাশি নয় কারণ এই রাশিটিতে ১টি পদ xy আছে।
গ) x+y-1 একটি দ্বিপদী রাশি নয় কারণ এই রাশিটিতে ৩টি পদ x, y, 1 আছে।
ঘ) x2-2x+1 একটি দ্বিপদী রাশি নয় কারণ এই রাশিটিতে ৩টি পদ x2, 2x, 1 আছে।
ঙ) y2 একটি দ্বিপদী রাশি নয় কারণ এই রাশিটিতে ১টি পদ y2 আছে।
২. নিচের দ্বিপদী রাশিগুলো থেকে এক চলক ও দুই চলকবিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি চিহ্নিত করো।
ক) x+1 খ) 3x+5 গ) x-3 ঘ) 5x-2
ঙ) 2x+3y চ) x2+1 ছ) x2-y জ) x2+y2
সমাধানঃ
ক) x+1 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
খ) 3x+5 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
গ) x-3 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
ঘ) 5x-2 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
ঙ) 2x+3y হলো একটি দুই চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
চ) x2+1 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
ছ) x2-y হলো একটি দুই চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
জ) x2+y2 হলো একটি দুই চলক বিশিষ্ট দ্বিপদী রাশি।
৩. নিচের বীজগাণিতিক রাশি থেকে এক চলক, দুই চলক ও তিন চলকবিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি চিহ্নিত করো।
ক) x+y+3 খ) x2+3x+5 গ) xy+z-3
ঘ) 5x+y2-2 ঙ) 2x+3y-z চ) y2-y+1
ছ) x2-yz+2 জ) x2+y2-y
সমাধানঃ
ক)x+y+3 হলো একটি দুই চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
খ) x2+3x+5 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
গ) xy+z-3 হলো একটি তিন চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
ঘ) 5x+y2-2 হলো একটি দুই চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
ঙ) 2x+3y-z হলো একটি তিন চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
চ) y2-y+1 হলো একটি এক চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
ছ) x2-yz+2 হলো একটি তিন চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
জ) x2+y2-y হলো একটি দুই চলক বিশিষ্ট ত্রিপদী রাশি।
৪. নিচের ত্রিপদী রাশির ঘন নির্ণয় করো।
ক) x+y+3
সমাধানঃ
(x+y+3)3
={(x+y)+3}3
=(x+y)3+3(x+y)2×3+3(x+y)×32+33 [সূত্রানুসারে]
=x3+3x2y+3xy2+y3+3(x2+2xy+y2)×3+3(x+y)×9+27
= x3+3x2y+3xy2+y3+9(x2+2xy+y2)+27(x+y)+27
= x3+3x2y+3xy2+y3+9×2+18xy+9y2+27x+27y+27
খ) 2x+3y-z
সমাধানঃ
(2x+3y-z)3
={(2x+3y)-z}3
=(2x+3y)3-3(2x+3y)2×z+3(2x+3y)×z2-z3 [সূত্রানুসারে]
=(2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3-3{(2x)2+2.2x.3y+(3y)2}×z+3z2(2x+3y)-z2
=8×3+36x2y+6x.9y2+27y3-3(4×2+12xy+9y2)×z+6z2x+9z2y-z2
=8×3+36x2y+54xy2+27y3-12x2z-36xyz-27y2z+6z2x+9z2y-z2
গ) x2+3x+5
সমাধানঃ
(x2+3x+5)3
= {(x2+3x)+5}3
= (x2+3x)3+3(x2+3x)2.5+3(x2+3x).52+53
= (x2)3+3.(x2)2.3x+3×2.(3x)2+(3x)3+15(x2+3x)2+3(x2+
3x).25+125
= x6+3.×4.3x+3×2.9×2+27×3+15{(x2)2+2×2.3x+(3x)2}+
75(x2+3x)+125
= x6+9×5+27×4+27×3+15×4+90×3+135×2+75×2+225x+125
= x6+9×5+42×4+117×3+210×2+225x+125
ঘ) xy+z-3
সমাধানঃ
(xy+z-3)3
={(xy+z)-3}3
= (xy+z)3-3(xy+z)2.3+3(xy+z).32-33
= (xy)3+3(xy)2.z+3xy.z2+z3-9{(xy)2+2xyz+z2}+3(xy+z).9-27
= x3y3+3x2y2z+3xyz2+z3-9{x2y2+2xyz+z2}+27(xy+z)-27
= x3y3+3x2y2z+3xyz2+z3-9x2y2-18xyz-9z2+27xy+27z-27
৫. বীজগাণিতিক নিয়ম ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ
ক) x3+1
সমাধানঃ
x3+1
=x3+13
= (x+1)(x2-x.1+12)
= (x+1)(x2-x+1)
খ) x3-1
সমাধানঃ
x3-1
= x3-13
= (x-1)(x2+x.1+12)
= (x-1)(x2+x+1)
গ) x6-729
সমাধানঃ
x6-729
=(x3)2-272
= (x3-27)(x3+27)
= (x3-33)(x3+33)
= (x-3)(x2+x.3+32)(x+3)(x2-x.3+32)
=(x-3)(x2+3x+9)(x+3)(x2-3x+9)
ঘ) x3+3×2+3x+9
সমাধানঃ
x3+3×2+3x+9
= x3+3.×2.1+3.x.12 + 13 + 8
= (x+1)3 + 23
= (x+1+2){(x+1)2-(x+1).2+22}
= (x+3)(x2+2x+1-2x-2+4)
= (x+3)(x2+3)
৬. একটি চকোলেট তৈরির ফ্যাক্টরিতে 2 ফুট এবং 3 ফুট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট দুইটি ঘনক আকৃতির কন্টেইনারে পূর্ণকরে চকোলেটের কাচামাল রাখা আছে।
ক) কোনো কাঁচামাল নষ্ট না হলে, দুইটি কন্টেইনারের কাচামালকে একত্র করে 1”×1”×2” আকারের কতগুলো চকোলেট তৈরি করা যাবে?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
1 ফুট =12 ইঞ্চি
∵2 ফুট = 12×2 = 24 ইঞ্চি
∵3 ফুট = 12×3 = 36 ইঞ্চি
তাহলে,2 ফুট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ঘনক আকৃতির কন্টেইনারের আয়তন
= 24×24×24 ঘন ইঞ্চি = 13824 ঘন ইঞ্চি।
এবং, 3 ফুট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ঘনক আকৃতির কন্টেইনারের আয়তন = 36×36×36 ঘন ইঞ্চি = 46656 ঘন ইঞ্চি।
∵ দুইটি কন্টেইনারের মোট আয়তন = 13824+46656
= 60480 ঘন ইঞ্চি।
এখন, একটি চকলেটের আয়তন বা আকার = 1”×1”×2”
= 2 ঘন ইঞ্চি।
∵ পরিপূর্ণ দুইটি কন্টেইনারের কাচামালে চকলেট তৈরি করা যাবে (60480÷2) টি = 30240 টি।
খ) কোনো কাঁচামাল নষ্ট না হলে, দুইটি কন্টেইনারের কাচামালকে একত্র করে 5”×7”×1” আকারের কতগুলো চকোলেট তৈরি করা যাবে?
সমাধানঃ
ক হতে পাই,
দুইটি কন্টেইনারের মোট আয়তন 60480 ঘন ইঞ্চি।
এখন, একটি চকলেটের আয়তন বা আকার = 5”×7”×1” = 35 ঘন ইঞ্চি।
∵ পরিপূর্ণ দুইটি কন্টেইনারের কাচামালে চকলেট তৈরি করা যাবে (60480÷35) টি = 1728 টি।
গ) 5”×7”×1” আকারের 1440 টি চকোলেট বার তৈরি হলে কী পরিমাণ কাঁচামাল নষ্ট হয়েছে।
সমাধানঃ
5”×7”×1” = 35 ঘন ইঞ্চি;
∵ 5”×7”×1” আকারের 1440 টি চকোলেট বার এর মোট আয়তন = 35×1440 ঘন ইঞ্চি = 50400 ঘন ইঞ্চি।
এখন, ক হতে পাই,
দুইটি কন্টেইনারের মোট আয়তন 60480 ঘন ইঞ্চি;
অর্থাৎ, পরিপূর্ণ কন্টেইনারে 60480 ঘন ইঞ্চি পরিমাণ কাঁচামালের থেকে 50400 ঘন ইঞ্চি দিয়ে চকলেট বার তৈরি হয়েছে এবং বাকী অংশ নষ্ট হয়েছে।
∵ কাঁচামাল নষ্ট হয়েছে = (60480-50400) ঘন ইঞ্চি = 10080 ঘন ইঞ্চি।
পড়ুনঃ
- English | Unseen Passage for Class 8 with Answers 31-35 | PDF
- English | Unseen Passage for Class 8 with Answers 36-40 | PDF
- English | Unseen Passage for Class 8 with Answers 41-45 | PDF
- English | Unseen Passage for Class 8 with Answers 46-50 | PDF
- Class 8 | English | Most Important Letter Writing 21-28 | PDF
৭. লতার বাবার একটি মাছ চাষের খামার আছে। খামারে একটি পুকুর আছে যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও পানির গভীরতা যথাক্রমে 50 মিটার, 40 মিটার এবং 5 মিটার। আয়তন ঠিক রেখে পানির গভীরতা 3 মিটার কমালে দৈর্ঘ্য কী পরিমাণ বাড়বে?
সমাধানঃ
১ম শর্তে,পুকুরের আয়তন
= দৈর্ঘ্য×প্রস্থ×গভীরতা
= 50×40×5 ঘন মিটার
= 10000 ঘন মিটার
২য় শর্তমতে,
গভীরতা = 5-3 মিটার = 2 মিটার;
প্রস্থ = 40 মিটার;
দৈর্ঘ্য = x (ধরি);
আয়তন = 10000 ঘন মিটার।
∵ x.40.2 = 10000
বা, 80x = 10000
বা, x = 10000/80 = 125
∵ আয়তন ঠিক রেখে পানির গভীরতা 3 মিটার কমালে দৈর্ঘ্য বাড়বে = 125-50 মিটার = 75 মিটার।
উক্ত বিষয় সম্পর্কে কিছু জানার থাকলে কমেন্ট করতে পারেন।
আমাদের সাথে ইউটিউব চ্যানেলে যুক্ত হতে এখানে ক্লিক করুন এবং আমাদের সাথে ফেইজবুক পেইজে যুক্ত হতে এখানে ক্লিক করুন। গুরুত্বপূর্ণ আপডেট ও তথ্য পেতে আমাদের ওয়েবসাইটে ভিজিট করুন।
